Nuestros cerebros no han evolucionado para entender de manera natural la naturaleza matemática de la realidad. La falsa paradoja conocida como el Problema de Monty Hall es un excelente ejemplo de las limitaciones de nuestra intuición.
Todo buen escéptico sabe que de lo primero que debe ser escéptico es de las propias convicciones. No importa que tan convencido o seguro estés sobre algo en particular, el buen escéptico sabe que siempre debe dejar una puerta abierta a la duda y al cuestionamiento.
El mundo de las matemáticas resulta un campo fértil para el ejercicio de la humildad intelectual. Nuestros cerebros no evolucionaron para comprender de manera natural la naturaleza abstracta del reino de las matemáticas. Por esta razón, nuestra intuición y nuestro sentido común frecuentemente se ven atropellados por la contundencia de la precisión matemática, especialmente en el campo de las estadísticas.
El ejemplo clásico de contra-intuición estadística es la de los volados consecutivos. Supongamos que nos encontramos echando volados y un amigo se acerca; si le preguntamos cuál es la probabilidad de que resulte águila o sello en el siguiente volado, muy probablemente de manera correcta nos contestará que la probabilidad es igual para ambos, 50 y 50. Pero si después le explicamos que ya llevamos 9 sellos seguidos, lo más seguro es que reconsidere su respuesta y corrija diciendo que la probabilidad de que vuelva a salir sello es menor. Sin embargo, todos sabemos que cada vez que lanzamos la moneda la probabilidad sigue siendo de 50/50.
Otro buen ejemplo es el llamado Problema de Monty Hall, o también erróneamente llamado la Paradoja de Monty Hall. Monty Hall era el conductor de un popular programa televisivo de concursos llamado “Let’s Make a Deal” que se trasmitió en los 60s y 70s en los EEUU. El Problema se puede describir de la siguiente manera:
- Se te presentan tres puertas cerradas; detrás de dos de ellas hay cabras, y detrás de una de ellas hay un automóvil nuevo. Debes escoger una de las puertas.
- Monty Hall abre una de las dos puertas restantes, en la que él siempre sabe que hay una cabra.
- Se te dan entonces la opción de cambiar tu selección inicial.
El problema es: ¿cómo tienes más probabilidades de ganar: cambiando tu elección, o manteniendo tu decisión inicial?
Intuitivamente la respuesta parece sencilla: en ese momento tienes dos puertas de las cuales escoger, por lo que tienes un 50% de probabilidades de ganar, sin importar si cambias o no tu decisión inicial.
Lo paradójico del asunto es que este razonamiento es erróneo. Resulta que si cambias tu elección inicial tienes el doble de probabilidades de ganar que si permaneces con ella.
Este resultado es tan contra-intuitivo que muchos de nosotros aún después de escuchar el fundamento probabilístico aún no pueden aceptarlo. Para esas personas, hay un sencillo programa que simula cierto número de juegos, en los que se puede especificar siempre cambiar o nunca cambiar; el programa corre la simulación y presenta el resultado; para sorpresa de muchos, el número de ganes siempre se aproxima al doble de las pérdidas cuando se escoge siempre cambiar (http://math.ucsd.edu/~anistat/chi-an/MonteHallParadox.html). Hay otras simulaciones para los aún más incrédulos en las que uno puede jugar juego tras juego haciendo las decisiones que guste, el resultado es el mismo, solo que toma más tiempo.
Para los más matemáticos se puede hacer un análisis bayesiano como demostración (en Wikipedia presentan uno), o bien se puede hacer el siguiente razonamiento:
- Cuando uno escoge la primera vez, existe una probabilidad de 2/3 de haber escogido la puerta equivocada.
- Por tanto, en dos terceras partes de las ocasiones, cambiar la selección ocasionará que se escoja la puerta correcta.
- El hecho de que Monty Hall abra una puerta después de la primera elección, no cambia en nada esta probabilidad por que Monty Hall sabe en que puerta se encuentra el automóvil. Si no lo supiera, al abrir alguna de las puertas a veces descubriría el automóvil. En este caso, las probabilidades cambiando o no cambiando serían idénticas.
Existen varias formas diferentes de ilustrar este razonamiento que debe intentar quien no se encuentre convencido: , con gráficas, con tablas. Sin embargo le puedo garantizar que tarde o temprano llegará a la misma conclusión. Es una verdad matemática contundente y clara, por eso es que el Problema es una falsa paradoja, es solo un resultado contra-intuitivo.
Todo buen escéptico sabe que de lo primero que debe ser escéptico es de las propias convicciones. No importa que tan convencido o seguro estés sobre algo en particular, el buen escéptico sabe que siempre debe dejar una puerta abierta a la duda y al cuestionamiento.
El mundo de las matemáticas resulta un campo fértil para el ejercicio de la humildad intelectual. Nuestros cerebros no evolucionaron para comprender de manera natural la naturaleza abstracta del reino de las matemáticas. Por esta razón, nuestra intuición y nuestro sentido común frecuentemente se ven atropellados por la contundencia de la precisión matemática, especialmente en el campo de las estadísticas.
El ejemplo clásico de contra-intuición estadística es la de los volados consecutivos. Supongamos que nos encontramos echando volados y un amigo se acerca; si le preguntamos cuál es la probabilidad de que resulte águila o sello en el siguiente volado, muy probablemente de manera correcta nos contestará que la probabilidad es igual para ambos, 50 y 50. Pero si después le explicamos que ya llevamos 9 sellos seguidos, lo más seguro es que reconsidere su respuesta y corrija diciendo que la probabilidad de que vuelva a salir sello es menor. Sin embargo, todos sabemos que cada vez que lanzamos la moneda la probabilidad sigue siendo de 50/50.
Otro buen ejemplo es el llamado Problema de Monty Hall, o también erróneamente llamado la Paradoja de Monty Hall. Monty Hall era el conductor de un popular programa televisivo de concursos llamado “Let’s Make a Deal” que se trasmitió en los 60s y 70s en los EEUU. El Problema se puede describir de la siguiente manera:
- Se te presentan tres puertas cerradas; detrás de dos de ellas hay cabras, y detrás de una de ellas hay un automóvil nuevo. Debes escoger una de las puertas.
- Monty Hall abre una de las dos puertas restantes, en la que él siempre sabe que hay una cabra.
- Se te dan entonces la opción de cambiar tu selección inicial.
El problema es: ¿cómo tienes más probabilidades de ganar: cambiando tu elección, o manteniendo tu decisión inicial?
Intuitivamente la respuesta parece sencilla: en ese momento tienes dos puertas de las cuales escoger, por lo que tienes un 50% de probabilidades de ganar, sin importar si cambias o no tu decisión inicial.
Lo paradójico del asunto es que este razonamiento es erróneo. Resulta que si cambias tu elección inicial tienes el doble de probabilidades de ganar que si permaneces con ella.
Este resultado es tan contra-intuitivo que muchos de nosotros aún después de escuchar el fundamento probabilístico aún no pueden aceptarlo. Para esas personas, hay un sencillo programa que simula cierto número de juegos, en los que se puede especificar siempre cambiar o nunca cambiar; el programa corre la simulación y presenta el resultado; para sorpresa de muchos, el número de ganes siempre se aproxima al doble de las pérdidas cuando se escoge siempre cambiar (http://math.ucsd.edu/~anistat/chi-an/MonteHallParadox.html). Hay otras simulaciones para los aún más incrédulos en las que uno puede jugar juego tras juego haciendo las decisiones que guste, el resultado es el mismo, solo que toma más tiempo.
Para los más matemáticos se puede hacer un análisis bayesiano como demostración (en Wikipedia presentan uno), o bien se puede hacer el siguiente razonamiento:
- Cuando uno escoge la primera vez, existe una probabilidad de 2/3 de haber escogido la puerta equivocada.
- Por tanto, en dos terceras partes de las ocasiones, cambiar la selección ocasionará que se escoja la puerta correcta.
- El hecho de que Monty Hall abra una puerta después de la primera elección, no cambia en nada esta probabilidad por que Monty Hall sabe en que puerta se encuentra el automóvil. Si no lo supiera, al abrir alguna de las puertas a veces descubriría el automóvil. En este caso, las probabilidades cambiando o no cambiando serían idénticas.
Existen varias formas diferentes de ilustrar este razonamiento que debe intentar quien no se encuentre convencido: , con gráficas, con tablas. Sin embargo le puedo garantizar que tarde o temprano llegará a la misma conclusión. Es una verdad matemática contundente y clara, por eso es que el Problema es una falsa paradoja, es solo un resultado contra-intuitivo.
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